【기계진동】 예제 1-7 문제풀이, 기중기 드럼의 등가 스프링상수 k

[문제]

예제 1-7) 기중기 드럼의 등가 스프링상수 k

강철 로프를 감는 기중기 드럼이 그림 1.31(a)와 같이 외팔보 끝에 설치되어 있다. 풀려 나간 길이가 l일 때 등가 스프링상수를 결정하라. 로프 단면의 평균 직경을 d, 로프와 외팔보의 Young률은 모두 E로 가정한다.

[문제해설]

기중기는 물체를 들어올리거나 내리는 역할을 하는 기계장치입니다. 이 기중기가 위에 있는 그림과 같이 드럼 형식으로 되어있는데, 이것으로 물체를 움직이다가 강철 로프의 길이가 l이 되었다. 이 때의 모습을 진동역학적으로 보았을때의 등가스프링 상수를 구하는 문제이다. 우측의 그림을 보면 어떤식으로 로프가 풀리는지 이해가 될 것이다.

[문제풀이]

먼저, 윗 그림을 조금 더 쉽게 이해할 수 있도록 FBD(free body diagram)을 그려보면 다음과 같이 됩니다.

(b)의 그림이 문제의 FBD이다. 그리고 이것을 진동으로 해석하기위한 모델링을 (c), (d)로 나타낸 것이다. (a) 그림을 (b)로 FBD을 그릴 수 있고, 이를 해석하는 모델로 (c)가 되었다가, 마지막에 문제가 원하는 답인 등가스프링 상수를 구하기위해 (d)로 그림을 그릴 수 있다.

이해되면 문제를 풀면 됩니다.

각각의 스프링 상수를 구하여 직렬연결되어있는 스프링값들을 더하는 것으로 등가스프링상수를 구하고 있다. 이 방법이 아주 기본적인 방법이고, 다음의 [풀이]에서의 방법은 기초적인 개념을 이용하여 구하는 풀이방법이다. 두가지 모두 기억하는걸 추천한다.

[풀이]

1. 등가스프링 상수를 구하는 문제는 원래 FBD과 모델링에서의 '힘을 가했을 때에 변위가 같다.'로 풀 수 있다.

2. (b)에서의 변위를 구해보자. 보와 로프가 직렬로 연결되어 있으므로,

- {변위 δ = (보의 처짐) + (로프의 인장)} 으로 구할 수 있다.

- 보의 처짐은 {δ`보 = PL^3 / 3EI} 으로 구하고 (이때, L = b, I = bh^3 / 12 = at^3 / 12 : 재료역학1 공식)

- 로프의 인장은 {δ`로프 = PL / AE} 로 구할 수 있다. (이때, A(면적) = πd^2/4, L = b, E는 문제에서 보와 동일하다함.)

그러면 전체 처짐발생량은 {δ = δ`보 + δ`로프} 이므로 {δ = P(4b^3/Eat^3 + 4l/πd^2E)} 가 된다. - (1)식

3. 등가모델에서의 등가스프링을 구하려면 (d)에서의 같은 힘이 걸렸을 때에 같은 변위가 일어나도록 한다.

따라서, F = kx (스프링 관계식)에서 P = k`eq x δ 이고, 결국, {δ = P/k`eq} 가 된다. - (2)식

4. (1)식과 (2)식을 비교한다.

(1)식과 (2)식에서 좌변은 δ로 동일하므로 우변도 같아야한다. 그러므로, k`eq = E/4 {πat^3d^2 / (πd^2b^3 + lat^3)} 이 된다.

※ 등가스프링 상수를 구하는 문제는 항상 '같은 힘이 걸렸을 때에 변위가 같다.'라는 개념을 이용하여 문제를 풀면 된다.

※기계진동 과목에서는 용어나 기호가 중복, 다름이 많기때문에 주의해서 볼 수 있도록한다. 특히, 기호가 헷갈리지 않도록 개념적 정리를 우선으로 하는걸 추천한다.

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