【기계진동】 예제 2-8 문제풀이, 고유진동수에 대한 스프링 질량의 영향

[기계진동] 예제 2-8 문제풀이, 고유진동수에 대한 스프링 질량의 영향

[문제]

그림 2.19와 같은 스프링-질량계의 고유진동수에 스프링의 질량이 미치는 영향을 조사하라.

[문제해설]

이제까지, 그리고 앞으로도 스프링의 질량을 무시하고 항상 문제를 푸는데, 이번 문제에서는 그 무시한 스프링의 질량을 고려하여 고유진동수를 구해보고 특성에 대해 알아보는 문제이다.

[문제풀이]

1. 교재에서의 풀이 방법

(위 사진에 이어서 아래 사진까지)

2. 상세한 문제 풀이

ⅰ) 위 문제를 간단하게 그리면 다음과 같다. 이때, 물체의 질량은 m이고 변위를 x(t)로 표현한다. 그리고 스프링은 처음부터 끝까지 표현되며(문제에서는 중간에만 표현하였는데, 이는 나중에 적분할때 구간 설정이 잘못되었다는 것을 알 수 있다. 따라서, 문제의도에 맞게 풀려면 스프링이 처음부터 끝까지 있다고 가정하고 문제를 풀어야한다.) 스프링 상수는 k, 길이는 l이다.

그리고 스프링의 미소변위를 dy라 하고 거기까지의 거리를 y라하자. 그러면 길이 dy의 스프링요소의 운동에너지는 위 사진에 적힌 식으로 표현된다.

ⅱ) 에너지

a) 운동에너지

운동에너지는 질량 m 과 스프링의 질량 m`s 를 고려하여 구한다.

b) 위치에너지

위치에너지는 스프링 탄성에너지이다.

ⅲ) 마지막으로, 에너지법을 적용한다. 에너지법을 적용하면 운동방정식이 튀어나오는데 이것이 문제해결의 핵심! 고유진동수를 구하면 위 사진의 박스친 내용으로 나온다. 이때 스프링의 질량의 1/3이 포함되어있다는 것을 알 수 있다. 따라서, 전체 질량에 스프링질량의 1/3을 더하면 스프링의 질량도 고려하여 문제를 풀 수 있다는 것을 알 수 있다.

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