【재료역학】 내압을 받는 압력용기(원통형, 구형)

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 응력과 압력에는 많은 공통점이 있습니다. 가장 중요한 것은 차원이 같다는 것입니다. 면적만 곱해주면 둘 다 힘(하중)을 나타내므로 작용방향만 고려해준다면 평형방정식을 세울 수 있습니다. 이 평형방정식을 통해 우리가 흔히 배우는 공식들이 유도됩니다. 오늘은 이러한 유도과정으로 응력에 대한 이해를 높이고 압력용기에 어떻게 응력과 압력이 작용하는지에 대해서도 알아보도록 하겠습니다.

 먼저 원통형 압력용기에 대해 살펴보겠습니다. 재료역학이 적용되는 물체는 우리 주변에 매우 많습니다. 내압을 받고 있는 원통형 내압용기 중 흔히 볼 수 있는 것은 LPG가스 용기입니다. 물체를 생각하며 바로 원주방향, 축방향의 응력을 유도해보도록 하겠습니다.

 원주방향의 응력을 보통 로 나타냅니다. 방향에 대해 헷갈리기도 하는데 이 부분에 대해 먼저 설명 드리겠습니다. 길이가 지름에 비해 긴 원통을 먼저 떠올립니다. 그리고 그 원통을 길게 잘랐을 때 그 단면에 수직한 방향이 원주방향입니다. 그림으로 표현하면 아래와 같습니다.

 이제 힘의 평형 관계를 보겠습니다. 내압(p ), 내경(d ), 용기 두께(t ), 길이(l )라고 할 때, 내압은 형광펜으로 칠해진 면적 dl 에 작용합니다. 여기서 단위 면적당 작용하는 힘이 압력이므로 내압에 의한 힘은 pdl 이 될 것입니다. 한편, 단면에 작용하는 반력은 응력과 작용 면적을 곱하면 로 쉽게 구해집니다. 용기에 아무것도 가하지 않는다면 두 힘은 평형을 이루고 있으므로 평형방정식을 세울 수 있습니다. 정리하면 원주방향의 응력은 다음과 같습니다.

 축방향의 응력은 로 나타내며 길이방향이라고도 하며 길이를 재는 방향이라고 생각하시면 쉽습니다. 우선, 중공축(속이 빈 축)의 단면을 생각합시다. 그러면 내압은 면적 에 작용하고, 이에 대한 반력은 용기의 두께가 있는 부분의 면적 에 작용할 것입니다. 원주방향의 응력을 구할 때와 마찬가지로 평형방정식을 세우면 이고 정리하면 아래와 같습니다.

 위에서 구한 두 식을 통해 우리는 원주방향의 응력이 축방향의 응력의 2배라는 사실을 알 수 있습니다. 실제로 가스 용기가 폭발하게 되면 길이방향으로 쭉 갈라져있는 것을 볼 수 있습니다. 원주방향 응력이 더 큰데 왜 길이방향으로 갈라지는지 궁금해 했던 기억이 있어 말씀드리자면, 허용응력이 축방향 응력과 같다고 가정하면 원주방향 응력은 허용치를 넘었기 때문에 버티지 못하고 터지게 되는데 위 그림에서 이 작용하는 방향을 생각해보시면 답이 나올 것입니다. 혹은 반대로 식을 압력에 대해 정리한 후 응력을 똑같이 놓으면 허용압력을 알 수 있습니다. 당연히 허용압력은 같은 응력에 대하여 축방향이 2배 더 크다는 결론이 나옵니다.

[사진 출처 : 금강일보 기사 중 폭발사고 당시 가스통]

 구형 압력용기는 비눗방울과도 비슷합니다. 안과 밖의 압력 차이만 다를 뿐입니다. 압력용기는 내압이 외압보다 강해서 튼튼한 용기로 고압의 물질을 가둬두는 것이고, 비눗방울은 내압과 외압이 평형을 이루어 형태를 유지하고 있는 것입니다. 구형 압력용기의 응력을 구하는 것은 원통형 압력용기와 크게 다르지 않습니다. 힘의 평형을 이용하는 것은 똑같고 대칭 구조이기 때문에 원주방향 응력과 축방향 응력이 같다는 점만 숙지하시고 계시면 됩니다. 원통형 압력용기의 축방향 응력()을 구하는 것과 같기 때문에 설명은 생략하도록 하겠습니다.

 하나 생각해보셔야 할 점은 구형 압력용기가 원통형 압력용기보다 2배 큰 압력을 버틸 수 있다는 점입니다. 이 또한 구한 식들을 압력에 대한 식으로 바꾸면 이해하기 쉬울 것입니다.