【유체역학】 전압력이 작용하는 수문 힌지 문제 풀이

[문제]

[문제해설]

문제에서 점 C가 물의 자유표면과 동일한 높이입니다. 이때 위와 같이 ㄱ자 형태의 수문이 점 A의 힌지를 가지고 있을 때에 수문이 닫힌 상태로 유지하기 위한  힘 F의 크기를 묻고 있습니다. 이때, 물 때문에 수문의 점 A의 우측에서 수압이 작용하기 때문에 수문은 좌측으로 밀리게 됩니다. 하지만, 점C에 힘 F를 가해줌으로써 수문을 닫은 상태로 유지해야합니다.

[문제 풀이 및 해설]

수문을 닫은 상태로 유지하기 위해서는 물체(수문)가 모멘트의 평형 상태여야합니다. 즉, 힘 F와 물로인한 모멘트의 크기가 동일해야합니다. 문제에서 힘 F의 크기를 묻고 있으므로 물로 인한 힘을 구하면 점 A에 대한 모멘트가 동일해야하기 때문에 알 수 있습니다.

우선, 물에 의한 힘을 구하기 위해서는 ① 수평면의 전압력과 ② 수직면의 전압력을 구해야합니다. 그리고 최종적으로 ③ 모멘트 평형으로 힘 F를 구할 수 있습니다.

① 수평면의 전압력

수평면의 상대적인 위치는 모두 같기 때문에, 높이가 동일하다고 하여 전압력을 구해줍니다.

1) 우선, 기본적인 공식인  로 구하면 됩니다. 힘 F는 압력 P 과 면적 A의 곱이며, 압력은 감마x높이로 나타낼 수 있습니다.

2) 수평면의 높이는 물의 자유표면 부터의 거리입니다. 즉, 2m입니다. 면적은 폭이 2m라고 했으므로 2x2=4 m^2입니다.

3) 그리하여  가 됩니다.

4) 즉, 이 힘 F1은 수평면의 중앙에 작용한다고 생각할 수 있습니다.

② 수직면의 전압력

수직면에 작용하는 전압력은 높이마다 압력의 크기가 다르기 때문에, 도심에서 작용하는 힘으로 대체해야합니다. 아래 그림을 보시면서 풀이를 봐주세요.

우선 위 그림을 보면 수직면에서는 자유표면의 거리로부터 작용되는 압력의 크기가 다르다는 것을 알 수 있습니다. 그래서 힘이 작용하는 곳을 선정하기 위해서는 압력의 분포를 보고 그 분포의 도심부분에 작용한다고 생각해야합니다. 위의 수직면의 경우에는 삼각형의 형태를 그리기 때문에, 삼각형 높이의 1/3지점이 도심부분이며, 해당하는 곳에 힘이 작용한다고 생각할 수 있습니다. 그러면 아래와 같이 풀이를 진행할 수 있습니다.

1) 우선, 전체 작용하는 힘을 구하려면 위 ①번에서 구했던 방법처럼 진행합니다.

여기서,  는 평판의 도심입니다. 수압분포의 도심(삼각형 높이의 1/3)과 헷갈리면 안됩니다. 이렇게 힘을 구한 뒤 삼각형 높이의 1/3에 힘이 작용한다고 봐야합니다.

2) 이제 위 힘이 도심부분(삼각형 높이의 1/3)에 작용하는 것입니다. ③번 모멘트 평형을 진행합니다.

③ 모멘트 평형

1) 모멘트 평형에서는 위 그림의 노란색 화살표처럼 수평면의 힘은 중앙에 78.4 kN이 작용하고, 수직면에서의 힘은 높이의 1/3 지점에 39.2 kN이 작용합니다.

2) A점이 힌지이므로 A점에 대한 모멘트 평형을 계산하여 '0'이 되어야 합니다.

3)  에서  입니다. 즉,  의 답을 얻을 수 있습니다.