【재료역학】 모어원 예제 문제풀이

"We thought we were running away from the grown-ups, and now we are the grown-ups." - Margaret Atwod

"우리는 우리가 어른이 되는 것에서 도망치고 있다고 생각했다. 허나 이제 우리가 어른이 되어버렸다." - 마가릿 애트우드

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 재료역학에서 간단한 모어원 문제를 가져와봤습니다. 보시고 도움이 되시면 아래에 있는 '공감' 한번 눌러주시면 감사드리겠습니다. 그럼 열공하시길 바랍니다.

[문제]

다음과 같은 평면응력상태에서 X축으로부터 반시계방향으로 30˚ 회전된 X'축 상의 수직응력은 약 몇 MPa인가?

[문제풀이]

우선, 위 문제에 나와있는 그림을 요약해보겠습니다.

① x축 방향 응력 = + 20 MPa

② y축 방향 응력 = - 10 MPa

③ xy평면 전단응력 = - 10 MPa

(이때, 전단응력의 부호는 위 그림 상태가 (-) 값입니다.)

다음으로, 모어원을 그리기 위해 필요한 정보(모어원 중심과 반지름)를 만들어보겠습니다.

① 모어원 중심

② 모어원 반지름

이제, 위 값(중심, 반지름)을 통해 모어원을 그려보겠습니다. (참고로 5루트13은 18이 약간 넘는 값입니다.)

(그림이 조금 이상한 점 양해부탁드립니다...ㅎㅎ)

위와 같이 모어원을 그릴 수 있었고, 위 문제에서 주어진 상태의 위치는 위에서 표시한 점의 위치입니다. 그리고 그 점의 위치에서 우측으로 화살표 방향을 보시게되면, 그 위치에서의 삼각형을 빼내었습니다. 이때, 각도 α는 다음과 같이 직각삼각형을 이용해서 구합니다.

다음으로, 문제에서 '반시계방향으로 30˚'를 돌린 상태에서의 수직응력을 묻고 있으므로, 모어원 상에서는 '반시계방향으로 60˚'를 돌려줍니다.

그럼 위와 같은 상태가 됩니다. 이때, 반시계 방향으로 60도를 돌린 상태를 아래로 끌고내려와서 삼각형을 그려놓았습니다. 이때, 삼각형의 각을 β라고하면, 이 각은 180도에서 α와 60도를 빼준 값이 됩니다. 이 각도를 통해서 아래와 같이, x축 방향응력을 구할 수 있습니다. 위 삼각형에서 삼각형의 밑변의 길이를 중심점인 5 MPa에서 빼주면 됩니다. 즉, 위 '삼각형의 밑변의 길이 = 중심 - x'축 응력'의 관계로 풀어줍니다. (글로 적는 것이라 자세한 설명이 안되는 점 양해부탁드립니다.ㅠㅜ)

즉, 답은 3.84 MPa가 됩니다! 이상!

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