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공학 문제해결/물리

【물리】 두개의 유체 흐름 문제풀이+베르누이 법칙, 연속 방정식

꿈꾸는 자는 성공한다.
그렇다고 꿈만 꾸지는 마라.
실천하라.


안녕하세요. 이번에도 역시 고등물리에서 유체역학 문제를 들고와서 풀어보겠습니다. 고등물리에서도 열*유체역학은 상당히 어려워하는 개념이라고 합니다. 저는 대학에서 기계공학을 전공해서 재료*열*유체역학을 4년간 더 배워왔기에 이번 문제도 수월하게 풀 수 있었습니다. 여러분들은 고등학생이시겠지만, 후에 대학에서 좋은 성적을 위해서 고등물리에서도 열*유체 분야 문제를 포기하지 마시길 바랍니다. 그리고 이번 포스팅이 많은 도움이 되길 바랍니다.
-수능특강에 있는 문제입니다.


[문제]

그림과 같이 밀도가 ρ인 액체 A가 일정하게 흐르고 있는 관의 굵은 부분과 가는 부분에는 밀도가 10ρ인 액체 B가 채워진 U자형 관이 연결되어 있다. 점 a, b는 높이가 같고 a에서의 액체 속력은 4m/s 이다. U자형 관에서 A, B의 경계면의 높이 차는 1m이다.


a, b에서 관의 단면적을 Sa, Sb라고 할 때 Sa : Sb는? (단, 중력 가속도는 10m/s^2이고 A, B는 베르누이 법칙을 만족한다.) [3점]

[선택지]
① 3:1  ② 4:1  ③ 5:2  ④ 7:2  ⑤ 9:2


[문제이해]

위 그림을 보시면 좌측에서 유체가 들어가고 우측으로 나가는 형태입니다. 그때에 아래 U자형 관이 있고 그 내에는 다른 밀도를 가진 액체가 존재하고 있습니다. 이러한 유체역학을 해석하는 문제입니다. 최종적으로 문제에서 묻는 것은 입*출구간의 단면적의 비를 묻고 있습니다. 그리고 문제에서 주어진 조건을 요약해보겠습니다.

① 밀도가 ρ인 액체 A
② 밀도가 10ρ인 액체 B (in U자형 관)
③ 점 a, b는 높이가 같고
④ a에서의 액체 속력은 4m/s
⑤ U자형 관에서 A, B의 경계면의 높이 차는 1m
⑥ 중력가속도 = 10m/s^2 
and 베르누이 법칙을 만족한다.



[문제풀이]

위 [문제이해]에서 적었던 요약들과 아래 그림을 보면서 문제풀이를 해보겠습니다. 쉬운 이해를 위해 위 그림 그대로 다시 아래에 첨부해두었습니다. 그림을 보시면서 이해해주시면 감사하겠습니다.


우선, a와 b에서의 압력차이를 구해보겠습니다.


위와 같이 a, b에서의 압력차이는 90ρ임을 알 수 있습니다.


문제에서 베르누이 법칙을 만족한다고 하였으므로, 점 a, b에서의 베르누이 법칙을 적용해보겠습니다.


위와 같이 베르누이 법칙을 점 a, b에 적용하여 b점에서의 속도가 14m/s 임을 알아내었습니다. 이때, 위에서 구한 압력차가 중간에 대입되었다는 것을 알 수 있습니다. (이때 Za, Zb는 동일한 높이이므로 서로 소거되었습니다.)


문제에서는 단면적의 비를 묻고 있으므로, 다음으로 적용해야할 것은 연속 방정식이라는 것을 알 수 있습니다. 아래와 같이 연속 방정식을 적용합니다.


단면적의 경우, 문제에서 주어진 기호 S보다 A가 편할 것같아서 처음에 연속 방정식을 적을 때에는 단면적을 A로 표현하였고, 두번째 줄부터는 단면적을 문제에서 주어진대로 S로 표현하였습니다. 위에서 구한 a, b점에서의 속도를 위와 같이 연속 방정식에 적용해주게되면, 단면적의 비를 7:2 라는 것을 알 수 있습니다. 이상!

[정답]
④ 7:2


[관련이론]
  • 베르누이 법칙 : 밀도가 ρ인 유체가 흐름관을 따라 흐를 때 서로 다른 두 위치에서 유체의 압력과 속력, 높이 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
  • 연속 방정식 : 비압축성 유체의 경우 각 지점의 단면을 같은 시간 동안 통과한 유체의 부피는 같다.



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