【재료역학】평행축 정리 + 관성 모멘트 문제 풀이

최종 수정 : 2018.07.07

제가 자격증 독학하면서 있던 카페에 올라왔던 질문을 가져왔습니다. 아래에 있는 사진처럼 159번 문제에서 중립축을 구하고 그에 대한 단면 2차 모멘트( = 관성 모멘트)를 구하는 문제에서 중간 풀이과정이 이해가 안되는 부분이 있어 질문한 것입니다. 그 질문을 퍼와서 여기에 답변해보겠습니다.

이미지를 클릭하시면, 원본 게시물을 확인할 수 있습니다.

우선, 평행축 정리 공식과 사각형의 단면 2차 모멘트입니다.

□ 평행축 정리 : 

위 공식처럼 축의 이동이 발생하면,만큼이 더해져서 단면 2차 모멘트가 됩니다. 그리고 위의 도형은 사각형으로 이루어져 있습니다. 이때, 사각형 중심축에 대한 단면 2차 모멘트는 (사각형의 단면 2차 모멘트 공식)이 됩니다. 이때, b는 밑변의 길이이고, h는 높이가 됩니다. 각각 모양에 대한 단면 모멘트나 단면계수는 아래의 포스팅을 참고하세요. 제가 쓴 게시물입니다.

2017/07/08 - [재료역학] - 재료역학. 각종 모양에 따른 (극)관성모멘트, (극)단면계수

이제, 문제 풀이입니다.

우선, 아래의 사각형의 면적을 A1이라 하고, 아래 사각형에 붙어있는 위 사각형의 면적을 A2라 하겠습니다. 그러면 각각 다음과 같이 구할 수 있습니다. 밑에 누워있는 사각형을 1번으로 하였고, 위에 붙어있는 사각형을 2번으로 지정해서 문제풀이에 적용한 것입니다.

그리고 각각의 중심은 가장 아래에 있는 변과의 거리로 나타낼 수 있습니다. (여기서 한 기준이 있어야 정확한 값을 나타낼 수 있으므로 가장 아래에 있는 변을 기준으로 삼았습니다.) 그러면 각각의 사각형의 중심의 거리는 다음과 같습니다. 잠시, 단위는 전부 mm로 주어졌으므로 mm으로 풀고 있는 것입니다.

그럼, 사각형 1과 사각형 2를 합하여 중심을 구해야합니다. 그럼 두개의 사각형을 합한 중심은 아래와 같습니다. 아래는 도심을 구하는 개념을 이용해서 사각형 2개가 붙어있는 물체의 도심을 구하는 것입니다.

이제 도심(사각형 2개 전체의 중심)을 구했으니 평행축 정리를 이용해서 구해주어야합니다. 사각형1과 사각형2를 따로 두고 풀었으니, 여기서도 따로 계산해서 합해주면 됩니다. 아래의 계산식을 보시면 됩니다.

계산식을 자세히 보시면, 평행축 정리를 적용할 때에, 사각형의 기본적인 단면2차 모멘트 구하는 공식이 적용되었고, 앞 부분의 (괄호)안에는 사각형 1번의 평행축 정리가 적용된 것이고 뒷 부분의 (괄호) 사이는 사각형 2번의 평행축 정리가 적용된 것입니다. 그리고 가운데에 +(더하기)를 통해서 두 사각형의 모멘트 값을 더하여 주어서 최종적인 값을 도출한 것입니다.

좋은 정보가 되었길 바랍니다.

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