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공학 문제해결/재료역학

【기계진동】 예제 2-1 문제풀이, 물탱크의 조화응답

[재료역학] - 【기계진동】 예제 1-7 문제풀이, 기중기 드럼의 등가 스프링상수 k



기계진동 Chap.2 Free Vibration of single DOF // p.139 ex)2-1


[문제]


그림 2.10(a)에 보이는 물탱크 기둥은 높이가 90m이고, 안지름이 2.4m, 바깥지름이 3m인 관형 단면을 가진 강화콘크리트로 만들어져 있다. 탱크 무게는 물을 포함해서 3x10^5 kg 이다. 기둥 질량을 무시하고 강화콘크리트의 Young률을 30GPa로 가정해서 다음을 결정하라.

a. 물탱크의 횡진동 고유진동수와 고유시간주기

b. 초기 횡변위 0.3m에 의한 물탱크의 진동응답

c. 물탱크가 겪는 최대 속도와 최대 가속도



[문제 해설]


- 물탱크 기둥 높이 90m : l = 90 [m]

- 안지름 2.4m : d`i = 2.4 [m]

- 바깥지름 3m : d`o= 3 [m]

- 탱크 무게, 물 포함 : m = 3x10^5 [kg]

- Young률 : E = 30 [GPa]

- 초기 횡변위 : x`0 = x(0) = 0.3 [m]



[문제풀이]


① 교재 풀이 사진 첨부


(자세한 내용은 ②번 풀이에서 알 수 있습니다.)


② 문제풀이

먼저, 위 사진의 (a)처럼 예제문제를 나타낼 수 있다. (기호표시에 주의한다.) 그리고 우측에 보이는 (b) 그림처럼 좌측 진동계를 모델링할 수 있는데, 이를 통해서 문제를 푸는 것이 더 쉬워서 바람직하다. 실제 물탱크라면 위아래 진동도 있지만, 이 문제에서는 좌우진동(횡방향)만을 물어보고있으므로 (b)와 같이 모델링할 수 있다. 이때, 뎀퍼는 없다는 것에 주의한다. 그러므로 이번 문제의 계는 undamped freed vibration이라는 것을 알 수 있다.


그리고 (a) 그림에서 빨간색 펜으로 표시한 P, δ, x(t)는 뒤에서 설명하겠습니다.

a) 물탱크의 횡진동 고유진동수와 고유시간주기 구하기


ⅰ) 물탱크의 고유진동수를 구하려면 먼저, 강성(k)를 구해야한다. 이전 문제풀이 포스팅에서 설명하였듯이, 'k구하는 것은 정하중(P)에 대한 변위(δ)가 같도록'하여 k를 구한다. (a), (b) 각각의 그림에 대해서 힘에 대한 방정식을 세운 후에 대조해보면 k값을 알 수 있다.


ⅱ) 위에서 구한 k에 아는 값들을 전부 대입해주면 답이 나온다. 이때, 관성모멘트 I의 값은 아래의 사진을 참고하도록한다.


ⅲ) 이제 고유진동수를 구할 차례이다. 고유진동수 공식을 이용해 구하면 된다.


ⅳ) 고유시간주기는 고유진동수와의 관계를 이용하여 구한다. (ω = 2πf = 2π/T)

b) 초기 횡변위 0.3m에 의한 물탱크의 진동응답 구하기


ⅰ) 이 문제의 계는 undamped free vibration이므로 해당 solution으로 구하면 된다. 이때, r=1이라는 것에 주의한다. 대입만 하면 응답을 구할 수 있는데, 필히 각각의 상황에 맞는 solution들을 암기하고 있어야한다.

c) 물탱크가 겪는 최대 속도와 가속도 구하기


ⅰ) 앞 문제 b)에서 구한 undamped free vibration solution을 이용하여 푼다.


ⅱ) 위 식을 1번 미분하면 속도에 관한 식이 된다. 그리고 cos(~~)의 최댓값은 1이므로 cos(~~)=1을 대입하면 최대 속도가 나온다.


ⅲ) ⅱ)와 동일하게 ⅰ)의 solution을 두번미분하여 최대가속도를 구한다. 이때도 ⅱ)와 동일하게 sin(~~)의 최댓값은 1이다.



[전체 해설]


이번 문제는 아주 간단한 undamped free vibration에 대해 묻는 문제이다. 가장 중요한 것은 해당 solution을 암기하고 있어야하는 사실이고, 그와 관련된 모든 공식들을 암기하여 문제풀이에 임해야한다. 그리고 각각의 기호들이 나타내는 물리량의 의미를 파악하여 다른 방향으로 흩어지지 않도록 주의해서 풀면 된다.




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  • Jsr 2018.04.14 18:00 댓글주소 수정/삭제 댓글쓰기

    예제 2.9에 대한 풀이는 없네요..
    문제에대한 풀이가 좀 이해가 안되는데 ..
    죄송하지만 풀이과정좀 알수 있을까요

    • 대학 수업 이수과정 때 작성한 내용이라 그때 책을 지금은 물려주고 없어서... 죄송하지만 이부분이 전부입니다!

  • Jsr 2018.04.14 19:33 댓글주소 수정/삭제 댓글쓰기

    혹시 제가 책은 가지고 있는데... 보내드리면 풀이는 가능할까요?
    책내용이 앞내용은 다 자르고 식만 나오는 지라

    • 저도 가능할지는 모르겠습니다...ㅎㅎ 배운지 조금.. alsdn3654@naver.com 으로 보내주세요! 확인이 좀 늦을거 같은데 미리 양해 부탁드려요

  • Jsr 2018.04.14 22:46 댓글주소 수정/삭제 댓글쓰기

    감사합니다.
    메일보냈습니다.

    • 네! 메일은 잘 도착했습니다! 오늘은 일이 좀 있는데 시간내서 풀어보도록 하겠습니다! 꼭 풀 수 있었으면 좋겠네요 ㅎㅎ 월요일까지는 풀어볼게요! 파이팅입니다!

    • 죄송합니다ㅠ 일이 좀 있네요... 살짝 봤는데 어렵긴 하더라구요 며칠안에 보내드릴게요! 풀수있을진 모르겠습니다!