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공학 문제해결/유체역학

【유체역학】수평확대관로의 압력 구하기 - 베르누이 정리

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"인생에 있는 큰 비밀은 큰 비밀 따위는 없다는 것이다.
당신의 목표가 무엇이든 열심히 할 의지가 있다면 달성할 수 있다."
- 오프라 윈프리
 
"The big sevret in life is that there is no big secret.
Whatever your goal, you can get there if you're willing to work."
- Oprah Winfrey
 

 

 
 
안녕하세요. 이번 문제는 베르누이 정리를 이용하여 수평 확대관에 대한 유량, 유속, 압력에 대해 이해할 수 있느냐를 묻는 문제입니다.
 
[문제]
지름이 다른 확대관로가 수평으로 설치되어 있다. 상류, 하류쪽의 관지름이 각각 20 cm, 40 cm 이고 상류에서 물의 평균유속과 압력이 각각 200 cm/s, 1 kgf/cm^2 일 때, 하류의 유속이 50 cm/s 라면 압력은 얼마인가?
(단, γ = 1 x 10^-3 kgf/cm^3) [`96, 행자부]
 
[보기]
㉮ 약 0.019 kgf/cm^2     ㉯ 약 1.02 kgf/cm^2     ㉰ 약 19.75 kgf/cm^2     ㉱ 약 2013 kgf/cm^2
 
[문제풀이]
이 문제는 그림이 없는 문제입니다. 그래도 머릿 속으로 충분히 상상하여 풀 수 있는 문제입니다. 하지만, 이해를 돕기 위해 아래처럼 간략한 그림을 그려보았습니다.(그림 실력 양해부탁드립...니다...)
 
 
자유물체도...라고 생각해주시면 좋을 거 같습니다. 이처럼 위와 같이 상류측 관지름 20 cm 으로부터 하류측 관지름이 40 cm 으로 커지고 있으며, 이때의 평균유속과 압력값을 주어졌습니다.
 
* 상류측 : 관지름 20 cm, 평균유속 200 cm/s, 압력 1 kgf/cm^2
* 하류측 : 관지름 40 cm, 평균유속   50 cm/2, 압력(구하고자 하는 값)
 
이러한 문제에서는 아래의 2가지 공식이 적용이 가능합니다.
 
(이때, Q : 유량, A : 면적, V : 속도, p : 압력, g : 중력가속도, Z : 수두)
 
이 문제에서는 '연속방정식(유량일정 관계식)'은 사용해봤자 구하고자 하는 압력값을 구할 수 없는 것을 알 수 있습니다. 따라서, '베르누이 방정식'을 적용해야 합니다(이 방정식들은 꼭 암기해주세요). 또한, 문제에서 '물'이라는 비압축성 유체를 조건을 내었으므로 베르누이 방정식을 적용할 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
 
이제 베르누이 방정식을 적용해보겠습니다.
 
 

 

이때, 중력가속도(g)는 으로 적용했습니다. 모든 단위를 통일하기 위함입니다. 아니면 문제에서 주어진 값들을 단위와 함께 그대로 대입한 후, 단위 변환을 같이 진행해도 무방합니다. (또한, 감마(γ)는 문제에서 주어진 값을 그대로 대입합니다.)
 
따라서 답은 ㉯ 약 1.02 kgf/cm^2 입니다.
 
문제를 다 풀고보니, 문제에서 주어진 관지름(20cm, 40cm)은 사용하지 않았네요. 가끔 이렇게 주어진 조건을 사용하지 않아도 답을 구할 수 있는 경우가 가끔 있습니다(헷갈리게 하기 위해^^).
 
 
 
 
[개념]
1. 베르누이 법칙
 : 유체 동역학에서 베르누이 방정식은 이상 유체에 대하여, 유체에 가해지는 일이 없는 경우에 대해, 유체의 속도와 압력, 위치 에너지 사이의 관계를 나타낸 식이다. 이식은 1738년 다니엘 베르누이가 그의 저서 <<유체역학>>에서 발표하였다. 베르누이 방정식은 흐르는 유체에 대하여 유선(streamline) 상에서 모든 형태의 에너지의 합은 언제나 일정하다는 점을 설명하고 있다. 베르누이 방정식은 비압축성 유동(incompressible flow)에 대해서만 유효하다. 대부분의 경우 액체는 그 밀도가 일정하다고 생각할 수 있다. 따라서 이런 경우 액체는 비압축성이고, 그 유동은 비압축성 유동으로 생각할 수 있다. 기체의 경우는, 그 유동 속도가 매우 낮아 유선에 따른 기체의 밀도 변화가 무시할 만큼 작은 경우에 비압축성으로 간주할 수 있다. - 출처 : 위키백과
 
 
2. 베르누이 법칙의 가정
 1) 유체는 비압축성이야 한다. 압력이 변하는 경우에도 밀도는 변하지 않아야 한다.
 2) 유선이 경계층(boundary layer)을 통과하여서는 안 된다.
 3) 점성력(viscous force)이 존재하지 않아야 한다.
 4) 시간에 대한 변화가 없어야 한다(정상상태, steady state).
 5) 하나의 유선에 대해서만 적용된다.
 6) 하나의 유선상 총 에너지를 일정하다.
 7) 흐름 외부와의 에너지 교환은 없다.
 
3. 연속방정식
 : 유체 동역학에서 연속 방정식은 질량 보존의 법칙을 수학적으로 나타낸 것이다. 미분방정식 형태로 나타내면 다음 식과 같다.
 
 
여기서 ρ는 유체의 밀도, t는 시간, u는 유체의 속도이다. 비압축성 유체에서는 ρ 가 상수이다. 
 
 
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