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공학 문제해결/재료역학

【재료역학】 단위 체적당 탄성변형에너지 예제문제 풀이

일반기계기사 기출 10번

2017년도 2회차에 출제되었던 일반기계기사 1과목 재료역학, 10번 기출문제입니다. (사진 속 주소는 제가 이전에 운영하던 주소이니 신경쓰지 않으셔도 됩니다.)


1. 문제설명


위 문제는 재료역학에서 중요한 재료가 가지고 있는 탄성에너지에 대해 알고 있는지를 묻는 문제입니다. 관련 공식도 알고 있어야하겠지만, 딱히 모르셔도 개념 이해를 통해서 풀 수 있습니다. 아래 설명과 문제 풀이를 참고해주세요.


2. 용어 및 개념


#변형에너지 [strain energy, 變形─ ]


 : 변형된 탄성체에 저장되는 일종의 위치에너지를 가리킨다. 물체에 외력이 가해지면 이 힘에 대한 일이 물체에 저장되는데, 탄성한계를 넘지 않는 범위에서는 물체가 원래 상태로 돌아오기 위해 변형에너지가 쓰이고, 탄성한계를 넘을 경우 에너지가 열에너지 등으로 변한다.

[네이버 지식백과] 변형에너지 [strain energy, 變形─] (두산백과)


#세로탄성계수 [modulus of longitudinal elasticity, -彈性係數 ]


 : 재료가 탄성 한도 내의 축방향력을 받았을 때 그 응력과 변형은 비례한다. 이 때의 비례 상수 E를 말한다.

[네이버 지식백과] 세로 탄성 계수 [modulus of longitudinal elasticity, -彈性係數] (토목용어사전, 1997. 2. 1., 도서출판 탐구원)


3. 관련 이론 및 공식


탄성변형에너지 관련 공식들

탄성변형에너지는 인장 또는 압축하중이 걸릴 때나 비틀림, 탄성 등 다양한 외력에 따라 에너지를 가집니다. 대부분의 변형에너지는 (외력)x(변위량)x1/2 으로 구해집니다. ①번을 먼저 보시겠습니다. 인장or 압축하중이 걸릴 때 탄성변형에너지는 U로 표현하고 Pδ/2 입니다. 이때에 δ는 Hook's Law에 의해서 PL/AE 이므로 대입해주게되면 U = P^2 L / 2AE 입니다. ②번과 ③번도 마찬가지로 같은 개념을 적용하면 됩니다.

단위 체적당 변형에너지 // ①번 인장*압축하중일 때

그리고 단위 체적당 탄성변형에너지는 위에서 설명했던 탄성변형에너지 U를 체적 V로 나눠주면 됩니다. 말 그래도 '단위 체적당'입니다. 이때, 부피 V는 면적 A와 길이 L를 곱한 값이므로 위와 같은 풀이과정을 보실 수가 있습니다.


그리고 σ = P/A = Eε 이라는 공식으로 다르게 표현할 수 있습니다. 즉, u = P^2 / 2A^2 E 이면서도 u = σ^2 / 2E = σε / 2 입니다.

②번 비틀림*토크일 때

②번의 비틀림*토크에서도 같은 방식으로 풀어주면 위와 같이 표현할 수 있습니다.


4. 기출(예제)문제 풀이

10번 기출문제 풀이과정


문제에서 주어진 σ = 200 MPa, E = 210 GPa 을 대입해주면 됩니다.


이때, 아래에 있는 단위계산을 봐주시게되면, 최종적으로 분모 분자가 소거되어 N/m^2이 되지만, 단위체적 당 변형에너지는 일반적으로 Nm/m^3 을 사용해서 구분해줍니다.


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