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공학 문제해결/수학

【수학】 허수 성질 관련 문제풀이

"Prediction is very difficult, especially about the future." - Niels Bohr

"예측은 매우 어려우며, 미래에 대해서는 특히 그렇다." - 닐스보어


안녕하세요. 이번 포스팅에서는 고1 수학에서 나오는 허수 파트의 문제 중에 하나를 가져와서 풀이했습니다. 검색을 통해 들어오신 분들께 도움이 되었으면 합니다^^!


[문제] - 공무원 기출문제


[활용 아이디어]

① 허수 제곱의 상관관계
② 허수 성질
** 암기해두면 좋은 것들 (이번 문제의 풀이에 사용됩니다.)



[문제풀이]

① 먼저, 문제에서 주어진 수식에서 좌변()을 분석해보겠습니다.

문제에서 주어진 좌변은  으로 변형할 수 있고,

이때, (허수의 성질 중 하나) 이므로

좌변은 다음과 같은 2가지로 나타납니다. (이때, 좌*우변의 2^n은 서로 소거할 수 있습니다.)

ⅰ) 

ⅱ) 


② 위의 결과를 우변과 비교하면 n을 구할 수 있습니다. 따라서, 위 ⅰ)번의 내용이 우변과 동일하게 되고, 허수 i의 제곱은 4번 마다 반복되므로,

(참고) 4번 마다 반복된다는 말의 의미 : 으로 지수가 4의 배수마다 반복된다는 말입니다.

n. … 임을 알 수 있습니다. ***[지수법칙]


③ 따라서, 모든 n은 3, 7, 11, 15, 19 (문제에서 20 이하의 자연수라는 조건)이므로 그 합은 55이다. 따라서, 정답은 55입니다.