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공학 문제해결/재료역학

【재료역학】 내압을 받는 압력용기(원통형, 구형)

< 에디터 자체의 수식입력 툴을 이용하여 글이 다소 지저분해보이는 점 양해 부탁드립니다.>



 응력과 압력에는 많은 공통점이 있습니다. 가장 중요한 것은 차원이 같다는 것입니다. 면적만 곱해주면 둘 다 힘(하중)을 나타내므로 작용방향만 고려해준다면 평형방정식을 세울 수 있습니다. 이 평형방정식을 통해 우리가 흔히 배우는 공식들이 유도됩니다. 오늘은 이러한 유도과정으로 응력에 대한 이해를 높이고 압력용기에 어떻게 응력과 압력이 작용하는지에 대해서도 알아보도록 하겠습니다.



 먼저 원통형 압력용기에 대해 살펴보겠습니다. 재료역학이 적용되는 물체는 우리 주변에 매우 많습니다. 내압을 받고 있는 원통형 내압용기 중 흔히 볼 수 있는 것은 LPG가스 용기입니다. 물체를 생각하며 바로 원주방향, 축방향의 응력을 유도해보도록 하겠습니다.

 원주방향의 응력을 보통 로 나타냅니다. 방향에 대해 헷갈리기도 하는데 이 부분에 대해 먼저 설명 드리겠습니다. 길이가 지름에 비해 긴 원통을 먼저 떠올립니다. 그리고 그 원통을 길게 잘랐을 때 그 단면에 수직한 방향이 원주방향입니다. 그림으로 표현하면 아래와 같습니다.



 이제 힘의 평형 관계를 보겠습니다. 내압(), 내경(), 용기 두께(), 길이()라고 할 때, 내압은 형광펜으로 칠해진 면적 dl 에 작용합니다. 여기서 단위 면적당 작용하는 힘이 압력이므로 내압에 의한 힘은 pdl  될 것입니다. 한편, 단면에 작용하는 반력은 응력과 작용 면적을 곱하면 로 쉽게 구해집니다. 용기에 아무것도 가하지 않는다면 두 힘은 평형을 이루고 있으므로 평형방정식을 세울 수 있습니다. 정리하면 원주방향의 응력은 다음과 같습니다.




 축방향의 응력은 로 나타내며 길이방향이라고도 하며 길이를 재는 방향이라고 생각하시면 쉽습니다. 우선, 중공축(속이 빈 축)의 단면을 생각합시다. 그러면 내압은 면적 에 작용하고, 이에 대한 반력은 용기의 두께가 있는 부분의 면적 에 작용할 것입니다. 원주방향의 응력을 구할 때와 마찬가지로 평형방정식을 세우면 이고 정리하면 아래와 같습니다.




 위에서 구한 두 식을 통해 우리는 원주방향의 응력이 축방향의 응력의 2배라는 사실을 알 수 있습니다. 실제로 가스 용기가 폭발하게 되면 길이방향으로 쭉 갈라져있는 것을 볼 수 있습니다. 원주방향 응력이 더 큰데 왜 길이방향으로 갈라지는지 궁금해 했던 기억이 있어 말씀드리자면, 허용응력 축방향 응력 같다고 가정하면 원주방향 응력은 허용치를 넘었기 때문에 버티지 못하고 터지게 되는데 위 그림에서 이 작용하는 방향을 생각해보시면 답이 나올 것입니다. 혹은 반대로 식을 압력에 대해 정리한 후 응력을 똑같이 놓으면 허용압력을 알 수 있습니다. 당연히 허용압력은 같은 응력에 대하여 축방향이 2배 더 크다는 결론이 나옵니다.

[사진 출처 : 금강일보 기사 중 폭발사고 당시 가스통]




 구형 압력용기는 비눗방울과도 비슷합니다. 안과 밖의 압력 차이만 다를 뿐입니다. 압력용기는 내압이 외압보다 강해서 튼튼한 용기로 고압의 물질을 가둬두는 것이고, 비눗방울은 내압과 외압이 평형을 이루어 형태를 유지하고 있는 것입니다. 구형 압력용기의 응력을 구하는 것은 원통형 압력용기와 크게 다르지 않습니다. 힘의 평형을 이용하는 것은 똑같고 대칭 구조이기 때문에 원주방향 응력과 축방향 응력이 같다는 점만 숙지하시고 계시면 됩니다. 원통형 압력용기의 축방향 응력()을 구하는 것과 같기 때문에 설명은 생략하도록 하겠습니다.



 하나 생각해보셔야 할 점은 구형 압력용기가 원통형 압력용기보다 2배 큰 압력을 버틸 수 있다는 점입니다. 이 또한 구한 식들을 압력에 대한 식으로 바꾸면 이해하기 쉬울 것입니다.

  • 제가 이해가 안가는부분이 있어 글 남깁니다.
    근데 님 그림에서 나와있듯이 원주방향응력은 면적 2*t*l의 수직방향으로 되어있잖아요. 그럼 동일 내압이 작용하면 사진에 보이는바와 같이 길이쪽으로 찢어지는데, 이거 자체가 원주응력때문에 찢어진거 아닌가요?

    원주방향힘을 다시 살펴보면 l* t두께에 수직한 힘이 못이기니 길이방향으로 찢어질수 밖에없지않나요?


    반대로 축방향으로 찢어진다면 응력작용면적이
    pi*d*t 에 수직한 방향이니 뚜껑이 터지는거구요.
    결론적으로는 원주방향응력이 축방향응력의 2배이기 때문에 원주응력이 작용하는 힘위치에 의해 길이방향으로 찢어졌다. 가 맞는 말이지 않나요

  • 아..위에 댓글 남긴 사람인데,제가 글을 잘못 이해했군요.

    결국 원주응력을 못 이기고 축방향으로 찢어진다. 다만 간과하지 말아야 할점은 축방향으로 찢어졌다고 축방향응력이라는 연관이 없다.
    원주방향응력의 작용위치가 LxT 의 수직한 힘이기 때문에 길이방향으로 찢어지는 것이다.

    일케 이해했는데 맞는건가요?

    그리고, 강도랑 응력이랑 무슨차이인지 궁금합니다. 이번 가스공사시험에서
    축방향 강도는 원주방향의 강도의 몇배인가? 라는 문제가 나왔는데 아직도 0.5배인지 2배인지 확신이 없습니다.
    단순시 식으로 봤을땐 0.5배인데요...혹시 이거 관련해서 포스팅가능한지요

    • 제 글을 보시고 질문사항 남겨주셔서 감사합니다. 우선, 두 번째 댓글에서 말씀하신 것처럼 이해하시는 것이 맞습니다.

      응력은 하중에 따라 물체의 단면에 생기는 단위 면적당 힘, 즉 압력과 유사합니다.
      항복강도, 파괴강도 등의 용어에서 사용되는 강도는 물체의 강한 정도이고 단위는 N, 힘입니다.
      또한, 글에서 쓰인 응력은 최대로 걸릴 수 있는 응력을 나타내는 것이 아닌 압력이 가해졌을 때의 재료에 걸리는 응력이라는 점을 염두에 두셔야 합니다.

      제시하신 문제에서는 ㅇㅇㅇ강도라고 하여 저도 상당히 헷갈리네요. NCS 직무영역에서는 전공문제를 크게 꼬아내지 않는다고 생각합니다. 용어를 단순히 해석하면 어떤 방향이 더 강한지를 묻고 있다고 생각되고 저는 "축방향 강도가 원주방향 강도의 2배"가 맞다고 생각합니다.

  • 위에 가스공사문제 보충할깨요. 내압이 작용하는 원통에서 축방향강도는 원주방향강도의 몇배인가? 이것이 문제였습니다.

  • 답글 알림기능이 없어서 인제야 답글확인 했습니다. 좋은 포스팅, 좋은 답변 보고갑니다. 그리고 답글에서 말씀하신것 처럼 2배가 정답이 맞습니다. 좋은연말보내세요^^