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공학 문제해결/수학

【수학】 이차 곡선에서 기울기가 m인 접선의 방정식

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 이차 곡선(원, 타원, 쌍곡선, 포물선)에서 기울기가 m인 접선의 방정식을 구해보고 그림을 통해 이해해보는 시간을 가지려고 합니다. 순서는 1번 원, 2번 타원, 3번 쌍곡선, 4번 포물선 순으로 작성하였으니 참고하시길 바랍니다. 궁금하신 점은 언제나 댓글을 이용해주시면 감사하겠습니다.


1.  

 에서의 접선은 


기울기가 m인 직선의 방정식  와 원  가 접할 때를 생각한다.

원의 중심인  과 직선  의 거리가 반지름  과 같음을 이용한다.

 따라서 



2. 타원 

 에서의 접선은 


기울기가 m인 직선의 방정식  와 타원  가 접한다.

 으로 변형한 후  와  을 연립했을 때, 교점이 1개임을 이용한다. 

 전개 후 판별식을 사용하면,  임을 알 수 있다.

따라서 타원의 접선의 방정식은 

P.S.
원 또한 같은 방법으로 구할 수 있다.

그리고 원 또한 타원의 특수한 형태로 생각해볼 수 있다.

 의 형태이기 때문이다. 다만 타원과 다른 점은 '장반경과 단반경의 길이가 같다.' 그리고 '두 초점의 거리가 0이다.'가 되겠다.

⇒ 타원 공식을 활용해 원의 접선을 구해도 된다.



3. 쌍곡선 

 에서의 접선은 


타원과 비슷하다.



4. 포물선 

 에서의 접선은 


접하는 직선의 방정식을  라 설정한다.

 와  를 연립하였을 때, 근의 개수가 1개임을 이용, 즉,  을 이용한다.

 전개 후 판별식을 활용하면,  이다.


끝!