본문 바로가기

공학 문제해결/재료역학

【재료역학】 평면응력 상태, 모어원 적용 문제풀이

[문제]

At a point in a loaded structure, the normal and shear stresses have the magnitudes and directions acting on the inclined element depicted in Figure. Calculate the stresses 

, and 

 on an element whose sides are parallel to the xy axes.
(아래의 그림과 같은 응력상태일 때에 xy축과 평행한 축에서의 응력을 구하시오.)


[그림]


[문제풀이1] - 평면응력 공식 적용

1) 우선, 위 그림과 같은 응력 상태에서의 응력은 아래와 같습니다.




그리고, 위와 같은 상태에서 xy축과 맞추려면 시계방향으로 30도만큼 회전시켜야 합니다. 따라서, 가 됩니다.

2) 아래에 적힌 공식을 외우고 있으면 바로 적용할 수 있습니다. 응력변환 공식입니다.


위 공식에 1)번에서 구했던 값들을 위 공식에 하나하나 대입해주면 아래와 같이 풀 수 있습니다.


따라서, x방향 응력은 -195.3 [MPa], y방향응력은 -64.7 [MPa], 그때의 전단응력은 -43.1 [MPa]가 나옵니다.

3) 이때, x방향 응력을 (대부분?) 먼저 구하실텐데 아래와 같은 공식을 적용해서 바로 y방향 응력을 구해도 좋습니다.


바로 응력들의 합은 일정하다라는 개념입니다. 위 공식을 적용해서 위 2번에서 구한 x방향 응력값을 대입해주면, y방향 응력을 손쉽게 얻을 수 있습니다.

4) 위 상태에서의 그림은 아래와 같습니다.



[문제풀이2] - 모어원 적용

1) 우선, 위에서 주어진 값들을 다시 들고옵니다.


2) 위 값을 통해서 모어원을 그려줍니다.


3) x-y에서 x'-y'으로 변환하기 위해 알파와 베타를 구해줍니다.


4) '원'에 적용해서 거리를 구하는 것처럼 문제를 풀어주면, 응력값을 알 수 있습니다.


  • 안녕하세요 2018.03.21 13:41 신고 댓글주소 수정/삭제 댓글쓰기

    그림은 뭐로 그리셨어요? 깔끔하게 잘그리셨넹..

  • 안녕하세요 2018.03.30 00:49 신고 댓글주소 수정/삭제 댓글쓰기

    일러스트로 그리셨나봐욤ㅎ 학생이셔요? 이렇게 블로그 하시는거 힘드실텐데 대단하시네요

    • 네 학생이에요! 그냥저냥 취미생활로 하다보니까 이렇게 하게되었네요 ㅎㅎ 일러스트는 다룰줄 모르고ㅠ 한글이랑 파워포인트랑 휴대폰 앱으로 그려요! 댓글 남겨주셔서 감사합니다!!

  • 비밀댓글입니다

    • 다음 달에 티스토리에서 저에게 초대장을 줄지는 아직 모르지만 받게 되면 보내드릴게요 ㅎㅎ 이메일 남겨주시면 좋을거 같아요~!

  • 비밀댓글입니다

  • 비밀댓글입니다

    • 축방향은 아마 가르치는 교수님들 스타일에 따라 다르게 하시는 분도 계시다고 알고 있어요~!

      가르치시는 교수님에 따라 따라가셔도 좋을거 같고 편하신 방법을 사용하시는 걸 추천드립니다!!

  • 타우타우 2019.01.24 19:12 신고 댓글주소 수정/삭제 댓글쓰기

    모어 원 작도하실 때 윗방향이 +타우 인데 왜 구할때는 음수인가요 ㅠㅠ 전단값은 반대로 읽는건가요..?

    • 포스팅 내용 아래쪽 부분에서 질문하신거 같네요.

      아래쪽 모어원 그림에서 x-y축이 처음 상태이고, x'-y'축이 나중 상태입니다.

      각도가 60도 변화되는 것을 보실 수 있을텐데 반시계방향으로 돌아가는 것을 볼 수 있습니다.

      그래서 최종적으로 전단응력 값은 음수(-)가 되는 것입니다.

      지금 제가 밖이라 잠깐 다시 언급하는 정도로만 말했는데, 이해가 안되신다면 대댓글 남겨주시면 나중에 다시 답변드리도록 하겠습니다.

    • 타우타우 2019.01.24 20:39 신고 댓글주소 수정/삭제

      오옹 빠른답변 감사드려요
      모어원 작도방식이 다 달라서 너무 헷갈려서요..
      중심과 반지름은 명확하게 이해가 가는데 +x면과 +y면의 응력상태를 어디에 표기해야 하는지 잘 모르겠습니다 ㅠㅠ 그리고 사각형요소가 반시계 쎄타만큼 회전했을때 이게 모어원 상에서도 반시계인지 반대인지 잘 모르겠어요 ㅠㅠ
      혹시 글쓴님이 쓰시는 작도법을 알려주실 수 있으신가요!

    • 제가 질문을 이해하기로는 2개인 것 같아 1, 2번으로 나누어 답변드리겠습니다. 꼭 이해가 되길 바랍니다!!

      1. 문제풀이 2번(모어원 적용)을 보시면, 문제에서 주어진 응력값들을 토대로 모어원을 그리는 것을 보실 수 있습니다. 이때, 위 모어원 그림의 x-y 축이 문제에서 주어진 상태의 응력상태입니다. 그래서 위 모어원 그림에서의 x위치가 문제의 응력상태입니다.

      2. 문제에서 사각형요소를 xy축과 맞추려고 하니, 시계방향으로 30도를 회전시켜야하는 상태입니다. 따라서, 모어원을 작도할 때에는 그 쎄타값에 2배를 하고 방향은 반대로 해주면 됩니다. 즉, 60도를 반시계방향으로 돌려주는 것입니다.

      이때, 사각형요소를 시계방향으로 돌리는 것의 각도값은 -30도이기 때문에 +60도를 했을 때에 원래상태로 돌아갈 수 있는 위치로 옮겨준다고 생각하시면 편합니다. 즉, 현상태를 만들기 위해서 그 전단계를 만들어준다는 의미로 생각하시면 조금 더 편하게 이해하실 수 있을거라 생각합니다.

  • 비밀댓글입니다

    • 문제의 그림에서 쎄타가 -30도 인 것을 알 수 있습니다. 그리고 아래의 문제풀이에서는 2쎄타가 들어가야 하기 때문에 -60도가 들어간 것을 확인하실 수 있을 것 같습니다.

  • 비밀댓글입니다

    • 위 문제풀이에서

      1) 우선, 위 그림과 같은 응력 상태에서의 응력은 아래와 같습니다. 그리고, 위와 같은 상태에서 xy축과 맞추려면 시계방향으로 30도만큼 회전시켜야 합니다. 따라서, 쎄타=-30도 가 됩니다.

      이 부분에 대해서 질문하는 것이 맞나요?

      네 말씀하신 것처럼 xy축으로 맞추는데 반시계방향으로 회전시켜야 한다면 쎄타는 +값이 되는 것이 맞습니다.

      이때, 원리는 x축을 기준으로 시계방향의 각도값은 -값으로 정하고, 반시계방향의 각도값은 +값으로 약속하고 있기 때문입니다.