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공학 문제해결/수학

【수학】 이계도함수, 부분적분법 문제풀이

"Nothing is a waste of time if you use the experience wisely." - Auguste Rodin

"경험을 현명하게 사용한다면, 어떤 일도 시간 낭비는 아니다." - 오귀스트 르네 로댕


안녕하세요. 이번 포스팅에서는 고등수학 中, 부분적분법에서 이계도함수가 등장하는 문제입니다. 풀이가 도움이 되셨으면 좋겠습니다~!^^ 최대한 자세히 적어드렸지만, 궁금한 점이 있느시다면 '댓글'을 남겨주시면 답글 달아드리도록 하겠습니다.


[문제]


[활용 아이디어]

① 부분적분법 (포스팅 아래에 간략한 설명을 붙여두었습니다.)


[문제풀이]

①  의 극한값의 존재는  꼴 일 때, 가능하므로  임을 알 수 있다. (조건 '나' 활용)

미분계수의 정의에 따라서,


③ 위 ②번과 비슷한 방법으로  도 구할 수 있습니다.

④ 풀이에 필요한 성분들을 모두 구했으므로, 조건 (다)를 풀어보겠습니다.

- (1)

으로 나타낼 수 있으며, 비슷한 방법으로 아래와 같은 식을 활용하여 정리할 수 있습니다.

 - (2)

⑤ 따라서 위 ④번에서 구한 (1)식에 (2)식을 대입하여 풀어주게 되면, (이때, ②, ③에서 구한 값도 대입하게 됩니다.)


로 풀이할 수 있습니다. 따라서 정답은 '4' 입니다.


[추가 설명]

** '부분적분법'에 대한 간략한 설명

일반적으로 부분적분법을 배우셨을 때, u - v 문자를 활용해서 배우셨을 겁니다. 하지만 부분적분법의 기원을 따리고 보면 일부러 헷갈릴만한 문자인 u, v를 사용하지 않고도 쉽게 이해할 수 있습니다.

[ 부분적분 ⇔ 곱의 미분 ]의 관계를 파악하는 것이 보다 이해하기 쉬우리라 생각합니다.

추가적으로 곱의 미분은 모든 함수를 한 번씩 미분해서 더하는 것이기에 사실 순서가 그리 중요하지 않지만, 부분적분은 역연산 즉, 어떤 함수를 적분해서 미분할 것이냐가 관건이 됩니다. 따라서 어떤 함수가 적분했을 때에 편한지 불편한지를 파악해두셔야 합니다.

[ 로 - 다 - 삼 - 지 ]라는 문구는 적분을 공부할 때 자주 등장합니다. 로그함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수의 순서를 일컫는 묻구입니다. 왼쪽부터 차례로 미분이 편한 순입니다. 미분이 편한 쪽을 미분해주고 적분이 편한 쪽을 적분하셔서 역 곱의 미분을 넣어 주시면, 쉽게 부분적분이 가능합니다.


위 모양을 비교해 보시면 거의 같다는 것을 아실 수 있습니다.


P.S. 이번에 풀이한 문제는 다항함수인  과  보다 가 적분이 편해서 부분적분법을 활용한 사례입니다.  가 로그함수라는 보장은 없다는 점 알아두시면 좋을 것 같습니다.