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공학 문제해결/수학

【수학】 정적분과 급수, 곱셈공식 이용 문제풀이

"Anyfool can criticize, condemn and complain and most fools do." - Benjamin Franklin

"비판, 비난하거나 불평하는 것은 어떤 바보라도 할 수 있고, 대다수의 바보들이 그렇게 한다." - 벤자민 프랭클린


안녕하세요. 이번 포스팅에서는 모 고등학교의 기말고사 문제 중에 하나를 가져와봤습니다. 최대한 자세히 풀이를 적어두었으니 참고하시길 바라고, 앞으로도 블로그 【수학】 카테고리에 많은 문제가 올라올 예정이니 도움이 되셨으면 합니다.


[문제]



[활용 아이디어]

① 정적분과 급수, 평행이동
② 곱셈공식
③ 기함수와 우함수


[문제풀이]

① 우선 문제에서 주어진 좌변을 곱셈공식을 활용해 변환합니다.


② 그리고 우변을 정적분과 급수의 관계를 이용해 적분 꼴로 변환해줍니다.


좌/우변 변환식을 대입하면,


가 됩니다. 이때,  로 치환하여 줍니다. (t에 대한 함수 자체를 t의 양의 방향으로 2만큼 이동시키는 원리로 이해해도 좋습니다.)


그러면 위와 같이 쓸 수 있습니다.

④ 따라서 a + b = 7 로 보이지만, 여기엔 함정이 숨어있습니다. 바로,  라는 점입니다. [기함수 적분]

⑤ 따라서,


로 다시 식을 만들어 줄 수 있습니다.

⑥ 즉, a는 자연수의 최솟값인 1이 올 수 있으며, a + b의 최솟값은 5가 됩니다. 정답은 5가 됩니다.