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공학 문제해결/수학

【수학】 정적분과 급수 쉽게 풀어보기 + 예제

"To have doubted one's own first principles is the mark of a civilized man." - Oilver Wendell Holmes Jr.

"자신의 인생 제1원칙에 대해 의심을 품어보았다는 것은 교양있는 사람이라는 증거이다." - 올리버 웬델 홈스 2세


안녕하세요. 이번 포스팅에서는 고등학교 미적분에서 나오는 개념들 중에 '정적분과 급수'를 쉽게 풀어보는 방법에 대해서 작성하였습니다. 글로 적어 설명하기 때문에 다소 이해하기 힘드시더라도 자세히 읽어보시면 도움이 되실 듯 합니다. 도움이 되셨다면 꼭 아래의 공감♥을 눌러주시면 감사하겠습니다!^^


[활용 교과]
- 고등 미적분1, 2


[쉽게 풀어보기 설명]

정적분과 급수는 구분구적법과 직접적인 연관이 있습니다. 그리고 많은 학생들이 어려워합니다. 개인적으론 문자가 상당히 많이 등장하는 점에서 어려워 한다고 생각합니다. 그래서 이번 포스팅을 통해 설명해보고자 합니다.

어려운 부분이긴 하지만 몇 가지 원리를 파악하면 상당히 쉽게 풀이가 가능합니다.

지금부터,

[의 꼴을 분석해 보면서 설명해보겠습니다.

①  는 구분구적법에서 사용하는 구간의 일정한 크기로 분할이라 볼 수 있습니다. 즉 적분에서 적분변수의 분할로 볼 수 있습니다.

②  는 함숫값 형태로 등장합니다. 구분구적법에 대응시켜보면, 막대기의 가로 길이라 볼 수 있습니다.

③  를 놓고 보면, 구간의 분할과 함숫값의 곱이며, 동시에 구분구적법에서의 막대기 하나의 넓이로 볼 수 있습니다.

④  은 '적분변수를 무한 횟수만큼 분할한다'라고 생각할 수 있습니다.

⑤  는 'k = 1 부터 k = n 까지의 넓이를 더한다'라는 의미가 되겠습니다.

⑥ 종합하면,  는 ‘어떤 구간을일정한 크기로 무한 횟수만큼 쪼갠 모든 넓이를 더한다.’ 라는 의미를 가집니다. 즉,  과 의미가 같습니다.

관건은 이 분석을 얼마나 빨리 끝내느냐에 있습니다.



 를 빠르게 변환하는 팁을 알아봅시다.

[변환팁]

1)  를  로 바꿔주고

2) k = 1일 때,  을 아래끝으로 잡기

즉  가 되는데, 이때의 a가 아래끝이 됩니다.

3) k = n 일 때, 을 위끝으로 잡기

즉  가 됩니다. 이때의 b가 위끝이 되겠습니다.

4) k를 적분 변수라 생각하고, 미소구간의 크기와 k의 계수를 통일합니다.

즉  에서 k의 계수와 미소구간의 크기가 같으니 가뿐하게  가 등장합니다.

5) 마지막으로  에 묶여있는 숫자들을 통째로 일반적인 적분 변수 x로 바꿔줍니다.

 의 변환은 이렇게 마무리 됩니다.

바꾸는 방법이 몇 가지가 있다고들 하지만, 그 외에 변환은 지금 하신 변환의 평행이동입니다.


[관련 예제]

관련 예제를 들어보고 이해도를 높여보겠습니다.


① 앞에 작성했던 팁을 이용하여,

 임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 ㈀ = ㈁ 임을 알 수 있습니다.

② 그렇다면 ㈀과 ㈂은 어떨까요? 이미 ㈀ = ㈁임을 알았으므로, ㈁과 ㈂을 비교해보겠습니다.

 은  의 그래프에서 1부터 11까지의 적분입니다. 따라서 그래프를 x축 음의 방향으로 1만큼 이동 시키면 0부터 10까지의 적분과 그 크기가 같습니다.

③ 밑줄 친 부분을 식으로 표현하면,

 로 ㈂의 식과 같습니다. 따라서 ㈁과 ㈂은 같은 값을 가집니다.

㈀ = ㈁ = ㈂ 이고, ㈃도 비슷한 방법으로 보일 수 있습니다.

④ 따라서, 정답은  입니다.