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공학 문제해결/재료역학

【재료역학】 질량관성모멘트의 평행축 정리, 예제문제 풀이

2017년도 2회차 일반기계기사 5과목 87번 기출문제입니다.

(사진 속 주소는 제가 이전에 운영하던 블로그 주소입니다.)

1. 문제설명


위 문제는 막대기의 끝에 고정점을 가졌을 때에 질량관성모멘트를 구해보라는 문제입니다. 즉, 질량관성모멘트를 아는가, 평행 축 정리를 사용할 줄 아는가를 묻는 문제입니다.


2. 용어


* 질량 : m

* 길이 ( = 거리) : L

* 질량관성모멘트 : J'G, J'O


3. 용어 및 개념 설명


관성 모멘트 (慣性-)는 물체가 자신의 회전운동을 유지하려는 정도를 나타내는 물리량으로서, 직선 운동에서의 질량에 대응되는 양이다. 기호는 통상적으로 라틴 대문자 I이며, 간혹 J로 나타내기도 한다. 관성 모멘트는 회전 운동에서 매우 중요한 역할을 차지하는데, 관성 모멘트를 통해서 회전운동을 기술하는 데 꼭 필요한 각운동량, 각속도. 각가속도, 돌림힘들 사이의 관계를 이어주는 물리량이기 때문이다.


관성 모멘트를 표현하는 방법에는 두가지, 스칼라로 나타내는 스칼라 관성 모멘트와 더 고등의 텐서로 나타내는 관성 모멘트 텐서, 간단히 관성 텐서(inertia tensor)를 사용한 표현이 있다. 보통 스칼라 관성 모멘트를 간단히 관성 모멘트라 하기도 한다. 간단한 회전의 경우에는 복잡한 관성 텐서보다 스칼라 관성 모멘트만으로도 각 물리량 사이의 관계를 충분히 기술할 수 있다. 하지만 스칼라 관성 모멘트는 회전하는 팽이나 자이로스코프와 같이 복잡한 회전에 대한 물리량 사이의 관계를 기술하지 못하기 때문에, 이러한 경우에는 관성 텐서를 사용해 각 물리량 사이의 관계를 기술한다.

[출처] 위키백과



평행축 정리(平行軸定理, parallel-axis theorem)란 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트들 사이의 관계에 대한 정리다. 이 정리를 써서, 한 축에서의 관성 모멘트를 알면 이와 평행한 임의의 축에서의 관성 모멘트를 구할 수 있다.

[출처] 위키백과


① 먼저, 질량관성모멘트에 대한 표현은 여러가지입니다. J'G, J'O, J, I'G, I'm 등등


② 평행축 정리 공식은 위에 나와 있는 사진 또는 아래와 같습니다.


J'O = J'G + mL^2


위에서 보신바와 같이 이해를 돕기 위해 원의 질량관성모멘트에서 평행 축 정리를 적용해보았습니다. 먼저, 원의 중심에서의 질량관성모멘트 (J'G)는 mR^2/2 입니다. 그리고 거리 (L)은 지름의 반인 반지름입니다. 평행 축 정리에 대입해주면 원에 접하는 축에 대한 질량관성모멘트(J'O)는 3mR^2/2 입니다.


4. 예제문제 풀이

③ 위 기출문제 87번의 풀이과정입니다.


위에서 알려드린 바와 같이 평행축 정리를 A점에 대하여 구해주시면 됩니다. 이때, 문제에서 주어진 질량 m을 그대로 대입하고 거리 L에는 문제에서 주어진 막대기의 질량중심과 A점 사이의 거리인 L/2를 대입해주시면 됩니다. 그러면 A점에 대한 질량관성모멘트는 mL^2/3 이 나오게 됩니다.


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