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공학 문제해결/재료역학

【기계진동】 예제 2-6 문제풀이, 복합진자의 고유진동수


[기계진동] Chap.2) Free Vibration of single DOF // p.149 예제 2-6)


[문제]

한 점에서 피벗지지되어 있는 강체는 자체 중력에 의하여 피벗점을 중심으로 진동하게 된다. 이와 같은 계를 복합진자(compound pendulum)라고 한다(그림 2.15). 이 계의 고유진동수를 구하라.


[문제해설]


- 피벗지지 : 나사같은 걸로 고정시켜놨다고 이해하면 된다.

- 복합진자 : 고정된 한 축이나 점의 주위를 일정한 주기로 진동하는 단진자와 같이 중력의 작용으로 진동을 계속하는 것을 말한다.

- 고유진동수 : 고유진동에의 진동수를 말한다. 예를 들면, 1자유도의 진동계에서 질량 m, 스프링 상수 k라고 하면 다음 식으로 정의된다. 고유진동수 = 1/2π √(k/m)



[문제풀이]

ⅰ) Free Body Diagram 그리기.


모든 역학적인 문제는 FBD을 그리는 것부터 시작하는 습관을 들이도록 하는 것이 좋다. 이 문제의 FBD을 그리면 위와 같이 그릴 수 있고, 각각의 표현을 자세히 보기를 바란다. 강체가 있고 무게중심과 회전중심이 일치하지 않고, 사이거리가 d이며, 중력에 의한 무게는 무게중심점에 작용하는 것을 알수 있다. 그리고 문제풀이에는 필요하지 않지만, 회전중심이 고정점이라 반력을 표시해보았습니다.

ⅱ) 고정점에서의 힘평형을 적용한다.


고정점에서의 힘평형 방정식을 세워서 운동방정식을 유도한다. 운동방정식은 위와같이 표현되고, 이는 우리가 수업때 배우는 '선형진동'이 아니라 '비선형진동'이라는 것을 알수 있다.

ⅲ) θ가 아주 작은 진동으로 가정하자.


비선형진동을 푸는 방법을 아직 배우지 않았으므로, 선형진동으로 바꿔서 문제를 풀도록 한다. 그래서 θ를 아주 작은 값으로 가정하면, sinθ=θ, cosθ=1로 표현된다. 그러면 위의 비선형 운동방정식이 선형운동방정식으로 바뀌게되고 우리가 많이 봤던 운동방정식의 한 형태가 된다. 이제, 이를 이용하여 문제를 풀도록한다.

ⅳ) 이제 고유진동수를 구하자.


고유진동수 공식을 이용하여 위와 같은 값을 얻는다. 이때, 중력(g)이 진동수에 관여한다는 것을 알 수 있는데, 이러한 문제가 많이 없으므로 특이한 경우라고 생각하면된다. 이번 문제에서는 진자의 경우에는 중력이 진동수에 관여한다는 것을 이해하고 넘어가도록하자.

ⅴ) 그리고 추가적으로, 이번 문제는 undamped free vibration이므로 Energy Method를 적용해보자. Energy Method란, 운동에너지와 위치에너지의 합의 미분값이 0이라는 것이다. 이는 undamped free vibration에만 적용되는 방법이다. 위 사진처럼 문제를 풀어보면 우리가 풀었던 운동방정식과 동일하다는 것을 알 수 있다. 문제 풀 시간이 부족하거나 검산용으로 풀어보면 좋을 것 같습니다.



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